Le moment d'inertie et la conservation de l'énergie

10.2 Le moment d'inertie et la conservation de l'énergie - théorie

Le moment d'inertie
La masse inertielle m d'une particule est la mesure de son inertie de translation. Elle représente l'opposition qu'offre un corps à voir changer son état de mouvement de translation. En rotation, c'est le moment d'inertie I d'un système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe (accélération angulaire). L'équation suivante représente l'expression du moment d'inertie d'un système composé de n particules.

I = S m_i r_i² = m₁ r₁² + m₂ r₂² + ..... + m_n r_n²

L'expression précédente n'est valable que pour des masses ponctuelles.

Le tableau suivant donne l'expression du moment d'inertie de quelques solides, de masse totale M, par rapport à un axe passant par leur centre de masse. Pour le cylindre et l'anneau, cet axe est perpendiculaire à leur rayon.

2MR²/5

2MR²/3

MR²/2

MR²

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L'énergie cinétique de rotation et la conservation de l'énergie
L'énergie cinétique de rotation est l'énergie associée au mouvement de rotation des particules d'un solide autour d'un axe. Elle s'exprime en fonction du moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation.

K_rot = ¹/₂ Iw ²

Cette énergie cinétique s'ajoute à l'énergie cinétique de translation lors du calcul de l'énergie mécanique totale d'un système. Par exemple, pour une forme circulaire (anneau, cylindre ou sphère par exemple) qui roule tout en se déplaçant, l'énergie cinétique totale est donnée par l'expression

K_tot = K_rot + K_trans

K_tot = ¹/₂ Iw ² + ¹/₂ mv_cm ²

Si la forme circulaire roule sans glisser, la vitesse de son centre de masse (cm) s'exprime en fonction de sa vitesse angulaire de rotation.

v_cm = w r